Secante (trigonometria)

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La secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia

 \sec \alpha = \frac

Indice

Relazioni geometriche

Fig. 1 - Geometricamente, la secante può essere vista anche come l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dell'angolo

Data una circonferenza unitaria di centro O, l'angolo al centro \theta tale che \theta \not = \frac + k \pi, con k \in \Z , individua su questa un punto C. La retta tangente alla circonferenza in C interseca l'asse x nel punto B; si definisce secante di \theta il segmento \overline così definito (vedi Fig. 2).

In un triangolo rettangolo la secante di uno dei due angoli acuti corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa ed il cateto adiacente: da questa affermazione emerge che la secante corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti il raggio della circonferenza unitaria e la tangente dello stesso angolo (vedi Fig. 1); da ciò, per il teorema di Pitagora, si ottengono le formule:

 \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta

 \sec \theta = \sqrt

comunque deducibili dalla definizione di secante.

Dimostrazione

Fig. 2 - Relazione tra secante, secante esterna, cosecante e cosecante esterna

Dimostriamo che  \sec \theta = \frac

Il triangolo \overset \mbox  è simile al triangolo \overset \mbox  (vedi fig.1).

Per il teorema di Talete vale la proporzione :

\over\mbox}=\over \mbox}

Ora   \mbox=\cos \theta  ,  \mbox=1 ,  \mbox=\sec \theta  e  \mbox=1.

Quindi :

\frac = \frac     da cui     \sec \theta = \frac

Valori notevoli

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che \sec x=.

x in radianti 0 \frac\pi 6 \frac\pi 4 \frac\pi 3 \frac\pi 2 \frac\pi \frac\pi \frac\pi \pi \frac\pi \frac\pi \frac\pi
2\pi \frac\pi \frac\pi \frac\pi \frac\pi
\sec x= 1 \frac \frac 2 -\frac -\frac -2 -1 -\frac -\frac -2

Funzione secante

Grafico della funzione secante

Definita la secante geometrica si può definire la funzione secante come f:\R\to\R\setminus\left\+k\pi,\,k\in\Z\right\} tale che

\forall x\in\R:f(x)=\begin\sec x &\mboxx\in\left
\\ \sec\alpha & \mboxx>2\pi\end      con \alpha=x+2h\pi\,\!,

h\in\Z tale che 0\le\alpha\le 2\pi.

Derivate

\frac }x}\sec x=\frac=\sec x\cdot\tan x

\frac }x^2}\sec x = \frac }x} \frac = \frac }x} \frac = \frac = \sec^3 x \left(1 + \sin^2 x \right)

Relazione trigonometrica secante-cosecante

Conseguenza della Prima relazione fondamentale della trigonometria (\cos^2x+\mathrm^2x=1\,\!) è la seguente:

\mathrm^x+\sec^x =\mathrm^x \cdot \sec^x per ogni x diverso da k .

La relazione si ottiene facilmente dividendo la relazione fondamentale per \mathrm^2x\cdot\cos^2x.

Note

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