Modus tollens

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Il modus tollens è una regola di inferenza della logica proposizionale sviluppata compiutamente per la prima volta dai logici medievali ma conosciuta già agli stoici. Il suo significato è:

"il modo che toglie la verità di una proposizione togliendo quella di un'altra".

In notazione con operatori logici:

\rightarrow ¬p

Il termine p prende il nome di antecedente, q è detto conseguente. Entrambe le lettere rappresentano proposizioni logiche. \neg è un connettivo logico, detto negazione. La proposizione q\,\!, negata tramite il connettivo \neg\,\!, è la proposizione opposta a q e si indica alternativamente con \bar\,\!, e si legge "non q" o "q negato".

Inoltre:

  • p è condizione sufficiente per q\,\!;
  • q è condizione necessaria per p\,\!.

q (se vero) può essere implicato da un termine diverso da p, mentre q (se vero) è necessario per p vero.

Il modus tollens era già stato studiato dagli stoici che avevano elaborato i cosiddetti ragionamenti anapodittici (non dimostrativi, evidenti di per se stessi). Questi ragionamenti, da taluni erroneamente equiparati ai sillogismi aristotelici, in realtà differiscono dai primi per i seguenti aspetti:

  1. Assenza dei quantificatori (esistenziale (\exists) e universale (\forall)).
  2. Il fulcro è la proposizione e non i termini (la logica di Aristotele è prevalentemente terministica o predicativa).
  3. Evidenza o immediatezza (manca il termine medio).
  4. Non hanno carattere dimostrativo né euristico, enunciano verità già note.

Il modus tollens è un caso particolare di sillogismo ipotetico in cui la seconda premessa è una proposizione il cui valore di verità non è ricavato deduttivamente ma accolto sulla base di un'evidenza empirica. Gli stoici approfondirono rispetto ad Aristotele (che si era concentrato sui sillogismi dichiarativi o apofantici) lo studio delle proposizioni ipotetiche e delle disgiuntive.

Esempio di modus tollens

  • Se è giorno, c'è luce. (implicazione: p, allora q)
  • Ma non c'è luce. (non q)
  • Dunque non è giorno. (conclusione)

Questo (e altri esempi) di anapodittici sono stati raccolti da Sesto Empirico negli Schizzi Pirroniani.

Dimostrazione di assoluta verità del Modus tollens tramite il controesempio

Per dimostrare che le conclusioni del Modus tollens possono essere errate, dobbiamo dimostrare che

\rightarrow ¬p = 0 (dove 0=falso)

Da cui deriva, per la legge delle implicazioni logiche che

  1. = 1
  2. ¬p = 0

Dalla seconda si ricava, per la legge della negazione logica che p = 1 (i)

La prima la scindiamo in

(p \rightarrow q) (j)

e

¬ q (k)

ed il suo valore è 1 soltanto quando entrambe le proposizioni j e k, sono entrambe vere.



¬ q = 1 e quindi q=0

Abbiamo quindi ricavato i due valori di verità delle preposizioni atomiche per cui il ragionamento di Modus tollens può essere falso. Analizzando attentamente k, però, notiamo che può essere vera, essendo q=0, soltanto se p=0, ma ciò è in contraddizione con i.

Non esiste, pertanto, nessun valore di verità assegnabile alle proposizioni p e q che renda la conclusione di Modus tollens falsa.

Voci correlate

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